[중등수학] 중1 수학, 일차방정식이 란? 일차방정식이 뭐죠?

일차방정식 (Linear Equation)

정의

일차방정식은 다음과 같은 형태로 표현되는 방정식입니다: ax+b=0ax + b = 0ax+b=0 여기서 aaa와 bbb는 실수이며, a≠0a \neq 0a=0입니다. 이 방정식에서 xxx는 변수입니다.

특징

• 일차방정식은 그래프를 그리면 직선이 됩니다.
• 방정식의 해는 xxx 값 하나입니다.
• 해를 구하는 방법은 주어진 방정식을 xxx에 대해 푸는 것입니다.

일차방정식 풀기

예시 문제 1

문제: 다음 일차방정식을 풀어라.
2x+3=72x + 3 = 72x+3=7

해설:

1. 방정식의 양변에서 3을 뺍니다. 2x+3−3=7−32x + 3 - 3 = 7 - 32x+3−3=7−3 2x=42x = 42x=4
2. 방정식의 양변을 2로 나눕니다. 2x2=42\frac{2x}{2} = \frac{4}{2}22x​=24​ x=2x = 2x=2

정답: x=2x = 2x=2

예시 문제 2

문제: 다음 일차방정식을 풀어라.
5x−4=3x+65x - 4 = 3x + 65x−4=3x+6

해설:

1. 방정식의 양변에서 3x3x3x를 뺍니다. 5x−3x−4=3x−3x+65x - 3x - 4 = 3x - 3x + 65x−3x−4=3x−3x+6 2x−4=62x - 4 = 62x−4=6
2. 방정식의 양변에서 4를 더합니다. 2x−4+4=6+42x - 4 + 4 = 6 + 42x−4+4=6+4 2x=102x = 102x=10
3. 방정식의 양변을 2로 나눕니다. 2x2=102\frac{2x}{2} = \frac{10}{2}22x​=210​ x=5x = 5x=5

정답: x=5x = 5x=5

일차방정식의 응용

일차방정식은 다양한 실제 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 여기 몇 가지 주요 응용 분야를 소개합니다.

1. 경제학과 금융

가격과 수요의 관계

경제학에서는 상품의 가격과 수요 사이의 관계를 설명하는 데 일차방정식을 사용합니다. 예를 들어, 수요 함수가 다음과 같이 주어졌다고 가정합니다: Q=50−2PQ = 50 - 2PQ=50−2P 여기서 QQQ는 수요량, PPP는 가격입니다. 이 방정식을 통해 가격 PPP를 알면 수요량 QQQ를 계산할 수 있습니다.

예시 문제

문제: 가격이 $10일 때, 수요량을 구하시오.
Q=50−2PQ = 50 - 2PQ=50−2P

해설: Q=50−2(10)Q = 50 - 2(10)Q=50−2(10) Q=50−20Q = 50 - 20Q=50−20 Q=30Q = 30Q=30

정답: 수요량 Q=30Q = 30Q=30

2. 물리학

속도, 거리, 시간의 관계

물리학에서는 속도, 거리, 시간 사이의 관계를 설명하는 데 일차방정식을 사용합니다. 기본 공식은 다음과 같습니다: d=vtd = vtd=vt 여기서 ddd는 거리, vvv는 속도, ttt는 시간입니다.

예시 문제

문제: 속도가 60 km/h이고, 2시간 동안 이동했을 때 이동한 거리를 구하시오.

해설: d=vtd = vtd=vt d=60×2d = 60 \times 2d=60×2 d=120d = 120d=120

정답: 이동한 거리 d=120d = 120d=120 km

3. 기하학

직선의 방정식

기하학에서 직선의 방정식을 찾기 위해 일차방정식을 사용합니다. 일반적인 직선의 방정식은 다음과 같습니다: y=mx+cy = mx + cy=mx+c 여기서 mmm은 기울기, ccc는 y절편입니다.

예시 문제

문제: 기울기가 2이고, y절편이 3인 직선의 방정식을 구하시오.

해설: y=mx+cy = mx + cy=mx+c y=2x+3y = 2x + 3y=2x+3

정답: 직선의 방정식은 y=2x+3y = 2x + 3y=2x+3

4. 생산 계획과 최적화

생산량과 비용의 관계

생산 계획에서는 생산량과 비용 사이의 관계를 설명하는 데 일차방정식을 사용합니다. 예를 들어, 총 비용 함수가 다음과 같이 주어졌다고 가정합니다: C=500+20QC = 500 + 20QC=500+20Q 여기서 CCC는 총 비용, QQQ는 생산량입니다.

예시 문제

문제: 생산량이 50일 때 총 비용을 구하시오.
C=500+20QC = 500 + 20QC=500+20Q

해설: C=500+20(50)C = 500 + 20(50)C=500+20(50) C=500+1000C = 500 + 1000C=500+1000 C=1500C = 1500C=1500

정답: 총 비용 C=1500C = 1500C=1500

 

일상생활에서의 일차방정식 활용

1. 금융 계산

대출 상환

일차방정식은 대출 상환 계획을 세우는 데 사용됩니다. 예를 들어, 매월 일정 금액을 상환하는 대출의 월 상환액을 계산할 수 있습니다.

예시:

• 대출금: 1000만 원
• 이자율: 연 5%
• 상환 기간: 10년 (120개월)

매월 상환액을 구하는 공식은 복잡하지만, 기본적인 대출 상환 계획은 일차방정식으로 표현될 수 있습니다.

2. 예산 관리

가계부 작성

일차방정식은 가계부를 작성하고 예산을 관리하는 데 유용합니다. 예를 들어, 매월 고정 지출과 변동 지출을 고려하여 총 지출을 계산할 수 있습니다.

예시:

• 고정 지출: 월세 50만 원, 공과금 10만 원
• 변동 지출: 식비, 교통비 등 평균 30만 원

총 지출은 다음과 같이 계산할 수 있습니다: 총 지출=50+10+30=90\text{총 지출} = 50 + 10 + 30 = 90총 지출=50+10+30=90 총 지출은 90만 원입니다.

3. 여행 계획

비용 계산

여행 계획을 세울 때 일차방정식을 사용하여 총 비용을 계산할 수 있습니다. 예를 들어, 여행지까지의 거리와 차량의 연비를 고려하여 연료비를 계산할 수 있습니다.

예시:

• 여행 거리: 300 km
• 차량 연비: 15 km/l
• 연료 가격: 1500 원/l

연료비는 다음과 같이 계산할 수 있습니다: 연료비=(30015)×1500\text{연료비} = \left( \frac{300}{15} \right) \times 1500연료비=(15300​)×1500 연료비=20×1500\text{연료비} = 20 \times 1500연료비=20×1500 연료비=30000\text{연료비} = 30000연료비=30000

4. 쇼핑

할인 계산

쇼핑할 때 할인을 적용한 가격을 계산하는 데 일차방정식을 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 할인율과 원래 가격을 알면 할인된 가격을 쉽게 계산할 수 있습니다.

예시:

• 원래 가격: 50000 원
• 할인율: 20%

할인된 가격은 다음과 같이 계산할 수 있습니다: 할인된 가격=50000×(1−0.20)\text{할인된 가격} = 50000 \times (1 - 0.20)할인된 가격=50000×(1−0.20) 할인된 가격=50000×0.80\text{할인된 가격} = 50000 \times 0.80할인된 가격=50000×0.80 할인된 가격=40000\text{할인된 가격} = 40000할인된 가격=40000

5. 조리와 요리

재료의 양 조절

요리할 때 일차방정식을 사용하여 재료의 양을 조절할 수 있습니다. 예를 들어, 레시피에 제시된 인원 수와 실제 인원 수에 따라 재료의 양을 조절할 수 있습니다.

예시:

• 레시피: 4인분, 소금 10g 필요
• 실제 인원: 6명

필요한 소금의 양은 다음과 같이 계산할 수 있습니다: 필요한 소금=(64)×10\text{필요한 소금} = \left( \frac{6}{4} \right) \times 10필요한 소금=(46​)×10 필요한 소금=1.5×10\text{필요한 소금} = 1.5 \times 10필요한 소금=1.5×10 필요한 소금=15\text{필요한 소금} = 15필요한 소금=15

결론

일차방정식은 다양한 응용 수학 분야와 일상생활에서 중요한 역할을 합니다. 경제학, 물리학, 기하학 등의 분야에서 일차방정식을 사용하여 문제를 해결하고, 금융 계산, 예산 관리, 여행 계획, 쇼핑, 요리 등 일상생활에서도 일차방정식을 활용할 수 있습니다. 이러한 예시를 통해 일차방정식의 중요성과 유용성을 이해할 수 있습니다.