[중등수학] 중1 수학, 최대공약수란? 최소공배수란? 최대공약수, 최소공배수가 뭐죠?

 

최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM)는 수학에서 자주 사용되는 개념으로, 특히 수와 수의 관계를 이해하는 데 중요한 역할을 합니다. 이 개념들을 이해하기 쉽게 예시와 함께 설명하겠습니다.

최대공약수 (GCD)

최대공약수는 두 수 이상의 공통된 약수 중 가장 큰 수를 말합니다. 예를 들어, 12와 18의 최대공약수를 찾는 방법을 보겠습니다.

1. 각 수의 약수를 구합니다.
   • 12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12
   • 18의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18
2. 공통된 약수를 찾습니다.
   • 12와 18의 공통된 약수: 1, 2, 3, 6
3. 공통된 약수 중 가장 큰 수를 선택합니다.
   • 최대공약수: 6

그래서, 12와 18의 최대공약수는 6입니다.

최소공배수 (LCM)

최소공배수는 두 수 이상의 공통된 배수 중 가장 작은 수를 말합니다. 4와 5의 최소공배수를 찾는 방법을 보겠습니다.

1. 각 수의 배수를 구합니다.
   • 4의 배수: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...
   • 5의 배수: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ...
2. 공통된 배수를 찾습니다.
   • 4와 5의 공통된 배수: 20, 40, ...
3. 공통된 배수 중 가장 작은 수를 선택합니다.
   • 최소공배수: 20

그래서, 4와 5의 최소공배수는 20입니다.

최대공약수와 최소공배수를 찾는 방법

최대공약수와 최소공배수를 찾는 여러 가지 방법 중에서, 소인수분해와 유클리드 호제법을 사용할 수 있습니다.

1. 소인수분해를 이용한 방법

소인수분해는 수를 소수의 곱으로 표현하는 방법입니다. 예를 들어, 36과 48의 최대공약수와 최소공배수를 소인수분해를 이용해 구해보겠습니다.

• 36의 소인수분해: 36=22×3236 = 2^2 \times 3^236=22×32
• 48의 소인수분해: 48=24×348 = 2^4 \times 348=24×3

최대공약수 (GCD)

• 각 소수의 최소 지수를 취합니다.
• 222의 최소 지수는 2, 333의 최소 지수는 1입니다.
• 따라서, GCD=22×31=4×3=12GCD = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12GCD=22×31=4×3=12

최소공배수 (LCM)

• 각 소수의 최대 지수를 취합니다.
• 222의 최대 지수는 4, 333의 최대 지수는 2입니다.
• 따라서, LCM=24×32=16×9=144LCM = 2^4 \times 3^2 = 16 \times 9 = 144LCM=24×32=16×9=144

2. 유클리드 호제법을 이용한 방법

유클리드 호제법은 두 수의 최대공약수를 구하는 빠른 방법입니다. 예를 들어, 48과 18의 최대공약수를 유클리드 호제법으로 구해보겠습니다.

1. 큰 수를 작은 수로 나눕니다.
   • 48÷18=248 \div 18 = 248÷18=2 (몫) ⋯12\cdots 12⋯12 (나머지)
2. 나머지가 0이 될 때까지, 나눗셈을 반복합니다.
   • 18÷12=118 \div 12 = 118÷12=1 (몫) ⋯6\cdots 6⋯6 (나머지)
   • 12÷6=212 \div 6 = 212÷6=2 (몫) ⋯0\cdots 0⋯0 (나머지)
3. 나머지가 0이 되면, 그때의 나누는 수가 최대공약수입니다.
   • 최대공약수는 6입니다.

이 방법을 사용하면 두 수의 최대공약수를 빠르게 구할 수 있습니다.

최대공약수와 최소공배수는 여러 가지 실제 문제에 적용될 수 있습니다. 예를 들어, 최대공약수는 두 개 이상의 정수로 물건을 최대한 균등하게 나눌 때 유용하며, 최소공배수는 주기를 맞추는 문제에 유용합니다.

예시 문제

1. 예시 문제 1: 최대공약수 두 수 24와 36의 최대공약수를 구해보세요.
   • 24의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
   • 36의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
   • 공통된 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12
   • 최대공약수: 12
2. 예시 문제 2: 최소공배수 두 수 6과 8의 최소공배수를 구해보세요.
   • 6의 배수: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...
   • 8의 배수: 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...
   • 공통된 배수: 24, 48, ...
   • 최소공배수: 24

결론

최대공약수와 최소공배수는 수학에서 매우 중요한 개념입니다. 최대공약수는 두 수를 나누는 가장 큰 수를 찾는 데 사용되고, 최소공배수는 두 수의 공통된 배수 중 가장 작은 수를 찾는 데 사용됩니다. 소인수분해와 유클리드 호제법을 통해 이 값들을 쉽게 구할 수 있습니다. 이 개념들을 이해하고 나면, 여러 가지 수학 문제를 해결하는 데 큰 도움이 될 것입니다.