[중등수학] 중1 수학, 정비례란? 반비례란? 정비례, 반비례가 뭐죠?

정비례와 반비례에 대한 설명

중학생들이 수학에서 배우는 중요한 개념 중 하나는 정비례와 반비례입니다. 이 두 개념은 실생활에서 자주 접할 수 있으며, 이를 이해하면 다양한 문제를 해결하는 데 도움이 됩니다. 아래에서는 정비례와 반비례에 대해 자세히 설명하고, 각각의 예시를 들어보겠습니다.

1. 정비례 (Direct Proportion)

정비례란 두 양 사이의 관계에서 한 양이 증가하면 다른 양도 일정한 비율로 증가하고, 한 양이 감소하면 다른 양도 일정한 비율로 감소하는 관계를 말합니다. 이를 수식으로 나타내면 y=kxy = kxy=kx의 형태가 되며, 여기서 kkk는 정비례 상수라고 합니다.

예시:

1. 자동차의 속력과 거리:
   • 일정한 속력으로 자동차가 이동할 때, 시간에 따라 이동한 거리가 정비례합니다.
   • 예를 들어, 속력이 60km/h인 자동차가 1시간 동안 이동한 거리는 60km이고, 2시간 동안 이동한 거리는 120km입니다. 여기서 속력이 일정하다는 가정 하에, 이동한 거리(y)는 시간(x)에 정비례합니다. 즉, y=60xy = 60xy=60x.
2. 연필의 가격과 개수:
   • 연필 한 자루의 가격이 500원일 때, 구입하는 연필의 개수에 따라 총 가격이 정비례합니다.
   • 연필을 1자루 사면 500원, 2자루 사면 1000원, 3자루 사면 1500원이 됩니다. 여기서 총 가격(y)은 연필의 개수(x)에 정비례하며, y=500xy = 500xy=500x입니다.

정비례의 특징:

• 그래프로 나타내면 원점을 지나는 직선이 됩니다.
• 정비례 관계에서는 두 양의 비율이 항상 일정합니다. 즉, yx=k\frac{y}{x} = kxy​=k가 항상 성립합니다.

2. 반비례 (Inverse Proportion)

반비례란 두 양 사이의 관계에서 한 양이 증가하면 다른 양은 일정한 비율로 감소하고, 한 양이 감소하면 다른 양은 일정한 비율로 증가하는 관계를 말합니다. 이를 수식으로 나타내면 y=kxy = \frac{k}{x}y=xk​의 형태가 되며, 여기서 kkk는 반비례 상수입니다.

예시:

1. 일의 양과 시간:
   • 일정한 작업을 하는데 필요한 일꾼의 수와 작업 시간은 반비례합니다. 예를 들어, 1명이 10시간 걸리는 일을 2명이 하면 5시간, 5명이 하면 2시간이 걸립니다.
   • 여기서 작업 시간(y)은 일꾼의 수(x)에 반비례하며, y=10xy = \frac{10}{x}y=x10​입니다.
2. 속도와 이동 시간:
   • 일정한 거리를 이동할 때, 속도와 이동 시간은 반비례합니다. 예를 들어, 100km 거리를 시속 50km로 가면 2시간이 걸리고, 시속 100km로 가면 1시간이 걸립니다.
   • 여기서 이동 시간(y)은 속도(x)에 반비례하며, y=100xy = \frac{100}{x}y=x100​입니다.

반비례의 특징:

• 그래프로 나타내면 원점을 제외한 두 축에 점근선을 가지는 곡선(쌍곡선)이 됩니다.
• 반비례 관계에서는 두 양의 곱이 항상 일정합니다. 즉, xy=kxy = kxy=k가 항상 성립합니다.

정비례와 반비례의 실생활 예시

정비례 실생활 예시:

1. 전기 요금:
   • 전기 사용량과 전기 요금은 정비례합니다. 전기를 많이 사용할수록 요금이 증가하고, 적게 사용할수록 요금이 감소합니다. 예를 들어, 1kWh당 100원의 요금이 부과될 때, 10kWh를 사용하면 1000원이 되고, 20kWh를 사용하면 2000원이 됩니다.
2. 거리와 연료 소비량:
   • 자동차의 연비가 일정하다는 가정하에, 주행 거리에 따라 소비되는 연료의 양이 정비례합니다. 예를 들어, 연비가 10km/L인 자동차가 100km를 주행하면 10L의 연료를 사용하고, 200km를 주행하면 20L의 연료를 사용합니다.

반비례 실생활 예시:

1. 빨래 건조 시간:
   • 빨래의 양이 일정할 때, 건조기에 넣는 빨래의 양과 건조 시간은 반비례합니다. 빨래를 적게 넣으면 빨리 마르고, 많이 넣으면 시간이 오래 걸립니다.
2. 농도와 용액의 부피:
   • 용액의 농도를 일정하게 유지하면서 용질의 양을 증가시키면, 용액의 부피는 반비례합니다. 예를 들어, 소금물의 농도가 일정한 경우, 소금의 양이 증가하면 물의 양이 감소해야 같은 농도를 유지할 수 있습니다.

정비례와 반비례 문제 해결

1. 정비례 문제:
   • 문제: 한 박스에 12개의 사과가 들어있습니다. 5박스에 들어있는 사과의 개수는 얼마입니까?
   • 해결: 사과의 개수는 박스의 수에 정비례합니다. 즉, 사과의 개수(y)는 박스의 수(x)에 비례하여 y=12xy = 12xy=12x. 5박스에 들어있는 사과의 개수는 y=12×5=60y = 12 \times 5 = 60y=12×5=60개입니다.
2. 반비례 문제:
   • 문제: 작업을 마치는데 4명이 6시간이 걸립니다. 동일한 작업을 8명이 하면 시간이 얼마나 걸릴까요?
   • 해결: 작업 시간은 작업 인원수에 반비례합니다. 즉, 작업 시간(y)은 작업 인원수(x)에 반비례하여 xy=kxy = kxy=k. 여기서 4×6=244 \times 6 = 244×6=24, 따라서 8×y=248 \times y = 248×y=24, 즉 y=248=3y = \frac{24}{8} = 3y=824​=3시간이 걸립니다.

결론

정비례와 반비례는 수학에서 매우 중요한 개념이며, 이를 통해 다양한 문제를 해결할 수 있습니다. 정비례는 두 양이 일정한 비율로 증가하거나 감소하는 관계를 나타내며, 반비례는 한 양이 증가하면 다른 양이 일정한 비율로 감소하는 관계를 나타냅니다. 실생활에서도 이 두 개념을 자주 접할 수 있으며, 이를 이해하면 수학적 사고력을 높이고 실생활 문제를 효과적으로 해결할 수 있습니다. 중학생들은 정비례와 반비례의 개념을 확실히 이해하고, 다양한 예시와 문제를 통해 이를 활용하는 능력을 키워야 합니다.