[중등수학] 중2수학, 유리수와 순환소수 정의와 예제, 문제 풀이

유리수와 순환소수는 중학교 수학에서 매우 중요한 개념입니다. 유리수는 우리가 일상 생활에서 많이 사용하는 수이며, 순환소수는 그 중에서도 특별한 형태의 소수입니다. 중학생들이 쉽게 이해할 수 있도록 유리수와 순환소수를 설명하고, 예시와 실생활에서의 예시를 들어보겠습니다.

1. 유리수 (Rational Numbers)

유리수는 두 정수 a 와 b $( b\neq 0)$의 비율로 나타낼 수 있는 수를 말합니다. 즉, 유리수는 분수의 형태로 나타낼 수 있는 모든 수를 포함합니다. 유리수는 정수, 분수, 그리고 소수로 나타낼 수 있습니다.

유리수의 정의:

• 유리수: $\frac{a}{b}$ 형태로 나타낼 수 있는 수, 여기서 a와 b는 정수이고 $( b\neq 0)$ 입니다.

예시:

1. 정수: 1, -3, 0
2. 분수: $\frac{1}{2}$ , $\frac{-4}{5}$ , $\frac{7}{3}$
3. 소수: 0.75 ($\frac{3}{4}$) , -1.25 ( $-\frac{5}{4}$ )

실생활 예시:

1. 돈: 우리가 사용하는 돈은 유리수의 좋은 예입니다. 예를 들어, 0.5달러는 $\frac{1}{2}$달러로 나타낼 수 있습니다.
2. 시간: 시간도 유리수로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어, 1시간 30분은 1.5시간 또는 $\frac{3}{2}$ 시간으로 나타낼 수 있습니다.

2. 순환소수 (Repeating Decimals)

순환소수는 소수점 아래의 숫자가 반복되는 패턴을 가지는 소수를 말합니다. 순환소수는 유리수의 일종으로, 특정한 패턴이 반복되므로 소수점 아래가 끝없이 이어집니다.

순환소수의 정의:

• 순환소수: 소수점 아래에 반복되는 숫자 패턴이 있는 소수. 예를 들어, 0.333... (여기서 '3'이 반복) 또는 0.142857142857... (여기서 '142857'이 반복).

순환소수 표기법:

• 순환하는 부분 위에 점(바)을 표시하여 나타냅니다. 예를 들어, $0.\overline{3}$ 또는 $0.\overline{142857}$.

예시:

1. $0.\overline{3}$: $\frac{1}{3}$ 의 소수 표현으로, 0.333...에서 '3'이 반복됩니다.
2. $0.\overline{142857}$: $\frac{1}{7}$ 의 소수 표현으로, 0.142857142857...에서 '142857'이 반복됩니다.
3. $\overline{6}$: $\frac{1}{6}$ 의 소수 표현으로, 0.1666...에서 '6'이 반복됩니다.

순환소수와 분수 변환:

순환소수를 분수로 변환하는 방법을 알아보겠습니다. 예를 들어, $0.\overline{3}$ 를 분수로 변환해보겠습니다.

1. $x = 0.\overline{3}$ 라고 가정합니다.
2. $10x = 3.\overline{3}$ 를 얻습니다 (소수점 이하 한 자리를 이동).
3. 원래 식에서 10x를 빼면 $10x - x = 3.\overline{3} - 0.\overline{3}$가 됩니다.
4. $9x = 3$이므로, $x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$가 됩니다.

실생활 예시:

1. 반복되는 패턴: 예를 들어, 1/3의 경우 소수로 나타내면 0.333...로 무한히 반복됩니다. 이처럼, 반복되는 패턴을 가진 소수를 순환소수라고 합니다.
2. 순환 할인: 할인 쿠폰의 할인율이 33.333...%일 때, 이는 $\frac{1}{3}$로 나타낼 수 있으며, 순환소수로는 $0.\overline{3}$입니다.

문제 예시

유리수 문제

문제: 다음 수가 유리수인지 판별하고, 분수 형태로 나타내시오.

1. 0.75
2. -1.25
3. 0.333...

해결:

1. 0.75는 유리수입니다. $\frac{3}{4}$로 나타낼 수 있습니다.
2. -1.25는 유리수입니다. $-\frac{5}{4}$로 나타낼 수 있습니다.
3. 0.333...는 순환소수로, 유리수입니다. $\frac{1}{3}$로 나타낼 수 있습니다.

순환소수 문제

문제: 다음 순환소수를 분수로 변환하시오.

1. $0.\overline{6}$
2. $0.1\overline{23}$

해결:

1. $x = 0.\overline{6}$라고 가정합니다.
   • $10x = 6.\overline{6}$
   • $10x - x = 6.\overline{6} - 0.\overline{6}$
   • $9x = 6$
   • $x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
2. $x = 0.1\overline{23}$라고 가정합니다.
   • $100x = 12.3\overline{23}$
   • $10x = 1.2\overline{23}$
   • $100x - 10x = 12.3\overline{23} - 1.2\overline{23}$
   • $90x = 11.1$
   • $x = \frac{11.1}{90} = \frac{123}{990} = \frac{41}{330}$

결론

유리수와 순환소수는 중학교 수학에서 매우 중요한 개념으로, 이를 이해하면 다양한 수학적 문제를 해결할 수 있습니다. 유리수는 두 정수의 비율로 나타낼 수 있는 수를 말하며, 정수, 분수, 소수로 나타낼 수 있습니다. 순환소수는 소수점 아래의 숫자가 반복되는 패턴을 가지는 소수로, 유리수의 일종입니다. 이러한 개념을 이해하면 실생활에서 다양한 문제를 해결할 수 있으며, 수학적 사고력을 키울 수 있습니다.