[중등수학] 중2-2수학, 확률, 경우의 수 요약, 정리

경우의 수란 어떤 사건이 일어날 수 있는 가능한 모든 경우의 수를 계산하는 것을 의미합니다. 중학교에서 배우는 경우의 수는 우리가 일상생활에서 만나는 여러 문제를 수학적으로 계산하고 분석할 수 있게 해주는 중요한 개념입니다. 경우의 수는 확률과도 밀접한 관계가 있어, 이를 이해하는 것이 확률 문제를 푸는 데 큰 도움이 됩니다. 이제, 중학생들이 배우는 경우의 수에 대해 자세히 설명해볼게요.

1. 경우의 수란 무엇인가?

경우의 수는 특정 사건이 일어날 수 있는 모든 가능한 경우의 수를 말합니다. 쉽게 말해, 어떤 선택이나 사건이 몇 가지 가능한 결과를 가질 수 있는지를 계산하는 것입니다. 예를 들어, 동전을 던졌을 때 앞면과 뒷면이 나올 수 있으므로 경우의 수는 2가지가 됩니다. 경우의 수를 구하는 방법에는 곱셈 원리와 덧셈 원리가 있습니다.

2. 곱셈 원리와 덧셈 원리

경우의 수를 구하는 방법에는 크게 곱셈 원리와 덧셈 원리가 있습니다. 이 두 가지 원리를 이해하는 것이 경우의 수 문제를 푸는 기초가 됩니다.

2.1 곱셈 원리

곱셈 원리는 여러 단계로 나누어진 선택이 있을 때, 각 단계의 선택 수를 곱하여 경우의 수를 구하는 방법입니다. 이를 다른 말로 선택의 수를 곱한다고 할 수 있습니다.

곱셈 원리의 기본 공식:

만약 두 가지 선택이 있을 때, 첫 번째 선택의 경우의 수가 m가지, 두 번째 선택의 경우의 수가 m가지라면, 두 선택을 함께 했을 때의 경우의 수는 m x n 가지가 됩니다.

예시 1: 옷을 입는 경우의 수

• 티셔츠 3가지 (빨강, 파랑, 노랑)
• 바지 2가지 (청바지, 검은바지)

티셔츠와 바지를 각각 선택하는 모든 경우의 수를 구하면,

• 빨강 티셔츠 + 청바지
• 빨강 티셔츠 + 검은바지
• 파랑 티셔츠 + 청바지
• 파랑 티셔츠 + 검은바지
• 노랑 티셔츠 + 청바지
• 노랑 티셔츠 + 검은바지

위의 경우를 모두 나열해보면 6가지가 있습니다. 이를 곱셈 원리를 통해 구하면, 3 x 2 = 6 이 됩니다.

2.2 덧셈 원리

덧셈 원리는 여러 사건이 동시에 일어날 수 없는 경우, 각 사건의 경우의 수를 더하여 모든 경우의 수를 구하는 방법입니다. 이를 다른 말로 선택의 수를 더한다고 할 수 있습니다.

덧셈 원리의 기본 공식:

만약 두 가지 사건이 동시에 일어나지 않을 때, 첫 번째 사건의 경우의 수가 m가지, 두 번째 사건의 경우의 수가 n가지라면, 두 사건 중 하나가 일어날 경우의 수는 m + n 가지가 됩니다.

예시 2: 과일 선택하기

• 사과 3가지 (빨간 사과, 초록 사과, 노란 사과)
• 배 2가지 (큰 배, 작은 배)

과일을 하나만 선택한다고 하면, 가능한 모든 경우의 수는 사과 3가지와 배 2가지를 더한 3 + 2 = 5 가지가 됩니다.

3. 중학생이 배우는 경우의 수 문제

중학교에서는 경우의 수를 구하는 다양한 문제를 접할 수 있습니다. 그중에서도 기본적인 예시 문제를 통해 좀 더 이해해보겠습니다.

예시 1: 숫자 만들기

0, 1, 2의 세 숫자가 있습니다. 이 숫자를 사용하여 두 자리의 숫자를 만들 때, 가능한 숫자는 몇 개일까요?

풀이:

• 두 자리의 숫자를 만들기 위해 첫 번째 자리에는 1, 2 중에서 선택해야 합니다. 왜냐하면 첫 번째 자리에 0이 오면 두 자리가 되지 않기 때문입니다.
• 두 번째 자리에는 0, 1, 2 중에서 선택할 수 있습니다.

첫 번째 자리에 선택할 수 있는 숫자가 2가지, 두 번째 자리에 선택할 수 있는 숫자가 3가지이므로 곱셈 원리에 따라 2×3=6개의 두 자리 숫자를 만들 수 있습니다. 가능한 숫자는 10, 11, 12, 20, 21, 22가 됩니다.

예시 2: 주사위 던지기

주사위 2개를 던질 때, 두 주사위의 눈의 합이 7이 되는 경우는 몇 가지일까요?

풀이:

• 주사위 2개를 던질 때 첫 번째 주사위와 두 번째 주사위의 눈의 합이 7이 되는 경우를 모두 나열해봅시다.

(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1).​ ​

따라서, 두 주사위의 눈의 합이 7이 되는 경우는 총 6가지입니다.

4. 실생활에서의 경우의 수

경우의 수는 실생활에서도 매우 중요한 개념으로, 다양한 상황에서 활용됩니다. 몇 가지 실생활의 예를 들어보겠습니다.

예시 1: 메뉴 선택하기

점심 메뉴를 정할 때, 주메뉴 3가지(볶음밥, 비빔밥, 카레)와 음료 2가지(콜라, 주스)가 있다고 가정합시다. 가능한 모든 조합을 생각해보면,

• 볶음밥 + 콜라
• 볶음밥 + 주스
• 비빔밥 + 콜라
• 비빔밥 + 주스
• 카레 + 콜라
• 카레 + 주스

총 6가지 조합이 가능하다는 것을 알 수 있습니다. 이는 곱셈 원리를 통해 3×2=63 \times 2 = 63×2=6으로 구할 수 있습니다.

예시 2: 복권 번호 고르기

복권 번호를 고를 때, 1부터 10까지의 숫자 중에서 2개의 숫자를 고른다고 가정해봅시다. 첫 번째 숫자는 1부터 10 중에서 고르고, 두 번째 숫자는 1부터 10 중에서 고릅니다. 만약 두 개의 숫자가 달라도 상관없다면, 첫 번째 숫자를 고를 수 있는 경우의 수는 10가지이고, 두 번째 숫자를 고를 수 있는 경우의 수는 10가지입니다. 따라서, 총 경우의 수는 10×10=100 가지가 됩니다.

5. 경우의 수를 구할 때 주의할 점

경우의 수를 구할 때, 다음의 점에 유의해야 합니다.

1. 중복을 고려: 같은 선택이 여러 번 포함되어 있으면, 중복을 고려하여야 합니다. 예를 들어, 주사위 2개를 던질 때 (3, 4)와 (4, 3)은 같은 경우로 취급하지 않습니다.
2. 동시에 일어날 수 없는 사건: 두 사건이 동시에 일어날 수 없는 경우에는 덧셈 원리를 사용하여 경우의 수를 계산해야 합니다.
3. 순서의 중요성: 경우에 따라 순서가 중요한지 여부를 판단해야 합니다. 예를 들어, 두 개의 주사위를 던질 때 (3, 4)와 (4, 3)은 순서가 다르면 다른 경우로 간주할 수 있습니다.

6. 결론

경우의 수는 수학에서 매우 중요한 개념이며, 다양한 문제 해결에 적용될 수 있습니다. 곱셈 원리와 덧셈 원리를 이해하면, 복잡한 경우의 수 문제도 쉽게 해결할 수 있습니다. 일상생활에서의 예시를 통해 경우의 수가 우리의 일상과 밀접하게 관련이 있음을 알 수 있습니다.